Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2{{\text{x}}^{2}}+x-1 \right)+m.$ Tìm m để $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{max}} g\left( x \right)=-10.$
A. $m=-13$
B. $m=5$
C. $m=3$
D. $m=-1$
A. $m=-13$
B. $m=5$
C. $m=3$
D. $m=-1$
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( 2{{\text{x}}^{3}}+x-1 \right)+m\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 6{{\text{x}}^{2}}+1 \right).f'\left( 2{{\text{x}}^{3}}+x-1 \right)$
Với $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $\left( 2{{\text{x}}^{3}}+x-1 \right)\in \left[ -1;2 \right]$
Quan sát đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0,x\in \left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow f'\left( 2{{\text{x}}^{3}}+x-1 \right)\le 0,x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow g'\left( x \right)\in \left[ -1;2 \right]$ do $6{{\text{x}}^{2}}+1>0,\forall x)$
$\Rightarrow $ $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( -1 \right)+m=3+m$
Theo đề bài, ta có: $3+m=-10\Rightarrow m=-13$
Chú ý:
Khảo sát hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ tìm $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right),$ từ đó suy ra m.
Với $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $\left( 2{{\text{x}}^{3}}+x-1 \right)\in \left[ -1;2 \right]$
Quan sát đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0,x\in \left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow f'\left( 2{{\text{x}}^{3}}+x-1 \right)\le 0,x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow g'\left( x \right)\in \left[ -1;2 \right]$ do $6{{\text{x}}^{2}}+1>0,\forall x)$
$\Rightarrow $ $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( -1 \right)+m=3+m$
Theo đề bài, ta có: $3+m=-10\Rightarrow m=-13$
Chú ý:
Khảo sát hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ tìm $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right),$ từ đó suy ra m.
Đáp án A.