Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng ${f}'\left( x \right)>0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$. Số nghiệm nguyên thuộc khoảng $\left( -10;10 \right)$ của bất phương trình $\left[ f\left( x \right)+x-1 \right]\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)>0$ là
A. 9.
B. 10.
C. 8.
D. 7.
A. 9.
B. 10.
C. 8.
D. 7.
Đặt $h\left( x \right)=\left[ f\left( x \right)+x-1 \right]\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác, $h(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6=0 \\
& f(x)+x-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6=0 (1) \\
& f(x)=-x+1 (2) \\
\end{aligned} \right.$
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là $x=-2$ và $x=3$.
+ Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-x+1$.
Dựa vào đồ thị hàm số đã vẽ ở hình bên, ta thấy rằng phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt là
$x=-3,x=-1,x=0$ và $x=2$.
Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu $h(x)$, ta có
$\left[ f(x)+x-1 \right]\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)>0\Leftrightarrow h(x)>0$
$\Leftrightarrow x\in \left( -3;-2 \right)\cup \left( -1;0 \right)\cup \left( 0;2 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$
Kết hợp điều kiện x nguyên và $x\in \left( -10;10 \right)$ ta có $x\in \left\{ 1;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Vậy có tất cả 7 giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mặt khác, $h(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6=0 \\
& f(x)+x-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6=0 (1) \\
& f(x)=-x+1 (2) \\
\end{aligned} \right.$
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là $x=-2$ và $x=3$.
+ Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-x+1$.
Dựa vào đồ thị hàm số đã vẽ ở hình bên, ta thấy rằng phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt là
$x=-3,x=-1,x=0$ và $x=2$.
Ta có bảng xét dấu
x | $-\infty $ | | $-3$ | | $-2$ | | $-1$ | | 0 | | 2 | | 3 | | $+\infty $ |
${{x}^{2}}-x-6$ | | + | | + | 0 | $-$ | | $-$ | | $-$ | | $-$ | 0 | + | |
$f(x)+x-1$ | | $-$ | 0 | + | | + | 0 | $-$ | 0 | $-$ | 0 | | + | + | |
$h(x)$ | | $-$ | 0 | + | 0 | $-$ | 0 | + | 0 | + | 0 | $-$ | 0 | + | |
$\left[ f(x)+x-1 \right]\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)>0\Leftrightarrow h(x)>0$
$\Leftrightarrow x\in \left( -3;-2 \right)\cup \left( -1;0 \right)\cup \left( 0;2 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$
Kết hợp điều kiện x nguyên và $x\in \left( -10;10 \right)$ ta có $x\in \left\{ 1;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Vậy có tất cả 7 giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.