Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khi $x\in \left[ -1;1 \right]$ thì $y\in \left[ 0;1 \right]$.
Do đó nếu đặt $t=\cos 2x$ thì $t\in \left[ -1;1 \right]$, khi đó $f\left( \cos 2x \right)\in \left[ 0;1 \right]$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left[ f\left( \cos 2x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( \cos 2x \right)=0 \\
& f\left( \cos 2x \right)=a\left( a<-1 \right)\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\
& f\left( \cos 2x \right)=b\left( b>1 \right)\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $f\left( \cos 2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos 2x=0 \\
& \cos 2x=a\left( a<-1 \right)\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\
& \cos 2x=b\left( b>1 \right)\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$. Mà $x\in \left[ 0;4\pi \right]\Leftrightarrow 0\le \dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}\le 4\pi $
$\Leftrightarrow 0,5\le k\le 7,5\left( k\in \mathbb{Z} \right)$. Có 8 giá trị k nguyên. Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm.