Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{4}}\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-10x+m \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ 0; 1890 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 4-x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ; 1 \right)$ ?
A. $1864$.
B. $1867$.
C. $1865$.
D. $1866$.
A. $1864$.
B. $1867$.
C. $1865$.
D. $1866$.
Ta có:
$g'\left( x \right)=-f'\left( 4-x \right)={{\left( 4-x \right)}^{4}}\left( x-1 \right)\left( {{\left( 4-x \right)}^{2}}-10\left( 4-x \right)+m \right)={{\left( 4-x \right)}^{4}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-24+m \right)$ Xét $h\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-24+m$
$g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\Leftrightarrow h\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}-2x+24,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right)}{\mathop{max}} \left( -{{x}^{2}}-2x+24 \right)$
$\left( -{{x}^{2}}-2x+24 \right)'=-2x-2=0\Leftrightarrow x=-1$
Bảng biến thiên
Suy ra $m\ge 25$ mà $m\in \left[ 0;1890 \right]$ và $m$ là số nguyên $\Rightarrow $ có 1866 giá trị
$g'\left( x \right)=-f'\left( 4-x \right)={{\left( 4-x \right)}^{4}}\left( x-1 \right)\left( {{\left( 4-x \right)}^{2}}-10\left( 4-x \right)+m \right)={{\left( 4-x \right)}^{4}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-24+m \right)$ Xét $h\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-24+m$
$g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\Leftrightarrow h\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}-2x+24,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right)}{\mathop{max}} \left( -{{x}^{2}}-2x+24 \right)$
$\left( -{{x}^{2}}-2x+24 \right)'=-2x-2=0\Leftrightarrow x=-1$
Bảng biến thiên
Suy ra $m\ge 25$ mà $m\in \left[ 0;1890 \right]$ và $m$ là số nguyên $\Rightarrow $ có 1866 giá trị
Đáp án D.