Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Phương pháp:
Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ nếu $g'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$.
Cách giải:
Ta có $\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=-f'\left( 1-x \right)=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 1-x-2 \right)\left[ {{\left( 1-x \right)}^{2}}-6\left( 1-x \right)+m \right] \\
& =-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( -1-x \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right). \\
\end{aligned}$
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow g'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+m-5\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\ \left( \text{do}\ x+1<0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right) \\
& \Leftrightarrow h\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-5\ge m\ \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow -m\le \underset{\left( -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right) \\
\end{aligned}$
Ta có: $h'\left( x \right)=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$.
BBT

Dựa vào BBT ta có $-m\le -9\Leftrightarrow m\ge 9$.
Mà $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ và m nguyên nên $m\in \left[ 9;10;11;...;2019 \right]$ hay có $2019-9+1=2011$ giá trị của m thỏa mãn.