Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Đặt $t={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$, ta có ${t}'=3{{x}^{2}}-6x;{t}'=0\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên (1):

Phương trình đã cho trở thành $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=\dfrac{3}{2} \\
& f\left( t \right)=-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên (2) của hàm số $y=f\left( x \right)$ :

Dựa vào bảng biến thiên (2), ta có
+) $f\left( t \right)=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}\left( {{t}_{1}}<-4 \right)\left( 1.1 \right) \\
& t={{t}_{2}}\left( {{t}_{2}}>2 \right)\left( 1.2 \right) \\
\end{aligned} \right.$. Dựa vào bảng biến thiên (1), ta có phương trình (1.1) có 1 nghiệm và phương trình (1.2) có 1 nghiệm (các nghiệm này không trùng nhau).
+) $f\left( t \right)=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{3}}\left( -4<{{t}_{3}}<-2 \right),\left( 2.1 \right) \\
& t={{t}_{4}}\left( -2<{{t}_{4}}<0 \right),\left( 2.2 \right) \\
& t={{t}_{5}}\left( 0<{{t}_{5}}<2 \right),\left( 2.3 \right) \\
& t={{t}_{6}}\left( {{t}_{6}}>2 \right),\left( 2.4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên (1), ta có phương trình (2.1) có 3 nghiệm; phương trình (2.2) có 3 nghiệm; phương trình (2.3) có 1 nghiệm; phương trình (2.4) có 1 nghiệm (các nghiệm này không trùng nhau và không trùng với các nghiệm của phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{3}{2}$ ).
Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm.