Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có ${f}'\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)$. Gọi S là tập các số nguyên $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$ có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của S bằng
A. 10.
B. 5.
C. 14.
D. 4.
A. 10.
B. 5.
C. 14.
D. 4.
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)$
Do đó với $y=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$
${y}'=\left( 2x-4 \right){{\left( {{x}^{2}}-4x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+m-1 \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m+4 \right)$
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-4x+m-1=0 \\
& {{x}^{2}}-4x+m+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}=-m+5 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}=-m \\
\end{aligned} \right.$$\left( * \right)$
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì $\left( * \right)$ có 3 nghiệm suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& -m+5>0 \\
& -m<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m<5$
Kết hợp $m\in \left[ -10;10 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$
Do đó với $y=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$
${y}'=\left( 2x-4 \right){{\left( {{x}^{2}}-4x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+m-1 \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m+4 \right)$
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-4x+m-1=0 \\
& {{x}^{2}}-4x+m+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}=-m+5 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}=-m \\
\end{aligned} \right.$$\left( * \right)$
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì $\left( * \right)$ có 3 nghiệm suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& -m+5>0 \\
& -m<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m<5$
Kết hợp $m\in \left[ -10;10 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$
Đáp án B.