Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Số nghiệm của phương trình $f\left( 2+f({{e}^{x}}) \right)=1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( 2+f({{e}^{x}}) \right)$ và đường thẳng $y=1$.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
$f\left( 2+f({{e}^{x}}) \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2+f\left( {{e}^{x}} \right)=-1 \\
& 2+f\left( {{e}^{x}} \right)={{x}_{0}}\in \left( 2;3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( {{e}^{x}} \right)=-3 \\
& f\left( {{e}^{x}} \right)={{x}_{0}}-2\in \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Tương tự ta có: $f\left( {{e}^{x}} \right)=-3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}=1 \\
& {{e}^{x}}={{x}_{1}}<-1\left( \text{vo nghiem} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=0$.
$f\left( {{e}^{x}} \right)={{x}_{0}}-2\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow $ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}=a<0\left( \text{vo nghiem} \right) \\
& {{e}^{x}}=b<0\left( \text{vo nghiem} \right) \\
& {{e}^{x}}=c>0\Leftrightarrow x=\ln c\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.