Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)$ ?
A. 13.
B. 12.
C. 11.
D. 21.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)$ ?
A. 13.
B. 12.
C. 11.
D. 21.
Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$
Với $x\in \left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)\Rightarrow x-\dfrac{\pi }{4}\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow t\in \left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành $2f\left( t \right)=m-1\Leftrightarrow f\left( t \right)=\dfrac{m-1}{2}$.
Với mỗi giá trị của ${{t}_{0}}\in \left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)$ có duy nhất một giá trị ${{x}_{0}}\in \left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)$ sao cho ${{t}_{0}}=\sqrt{2}\sin \left( {{x}_{0}}-\dfrac{\pi }{4} \right)$.
Do đó phương trình $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)\Leftrightarrow $ phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{m-1}{2}$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)$.
Từ bảng biến thiên suy ra $-4<\dfrac{m-1}{2}<3\Leftrightarrow -7<m<7$.
Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $x\in \left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)\Rightarrow x-\dfrac{\pi }{4}\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow t\in \left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành $2f\left( t \right)=m-1\Leftrightarrow f\left( t \right)=\dfrac{m-1}{2}$.
Với mỗi giá trị của ${{t}_{0}}\in \left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)$ có duy nhất một giá trị ${{x}_{0}}\in \left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)$ sao cho ${{t}_{0}}=\sqrt{2}\sin \left( {{x}_{0}}-\dfrac{\pi }{4} \right)$.
Do đó phương trình $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{3\pi }{4} \right)\Leftrightarrow $ phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{m-1}{2}$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)$.
Từ bảng biến thiên suy ra $-4<\dfrac{m-1}{2}<3\Leftrightarrow -7<m<7$.
Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.