Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
Với $x\in (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})\Rightarrow x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\in (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\Rightarrow t\in (-\sqrt{2};\sqrt{2})$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành $2f\left(t\right)=m-1\iff f\left(t\right)={\displaystyle \frac{m-1}{2}}$.
Với mỗi giá trị của $t_0\in (-\sqrt{2};\sqrt{2})$ có duy nhất một giá trị $x_0\in (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$ sao cho $t_0=\sqrt{2}\sin (x_0-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$.
Do đó phương trình $2f(\sin x-\cos x)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})\iff$ phương trình $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{m-1}{2}}$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $(-\sqrt{2};\sqrt{2})$.
Từ bảng biến thiên suy ra $-4<{\displaystyle \frac{m-1}{2}}<3\iff -7<m<7$.
Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.