Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Bài toán tương đương với: $m<f\left( x+1 \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x$ có nghiệm trên $\left[ 0;2 \right]$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x$ trên $\left[ 0;2 \right].$
Bài toán trở thành tìm m để $m<g\left( x \right)$ có nghiệm trên $\left[ 0;2 \right]$
$\Leftrightarrow m<\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}+1=0.$
TH1: $x\in \left[ 0;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<{f}'\left( x+1 \right) \\
& 0<-{{x}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$
TH2: $x=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x+1 \right)=0 \\
& -{{x}^{2}}+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0.$
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1.$
TH3: $x\in \left( 1;2 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x+1 \right)<0 \\
& -{{x}^{2}}+1<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0.$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( x \right)$ trên $\left[ 0;2 \right]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m<\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)+\dfrac{2}{3}.$
Vậy $m<f\left( 2 \right)+\dfrac{2}{3}.$