Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị m để phương trình $\left| f\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2} \right) \right|=m$ có nghiệm.
A. $-4\le m\le -2$.
B. $m>-4$.
C. $2<m<4$.
D. $2\le m\le 4$.
Tìm tất cả các giá trị m để phương trình $\left| f\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2} \right) \right|=m$ có nghiệm.
A. $-4\le m\le -2$.
B. $m>-4$.
C. $2<m<4$.
D. $2\le m\le 4$.
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là
Đặt $t=\dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2}$
Ta có ${t}'=\dfrac{-4{{x}^{2}}+4}{{{\left( 2{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow t\in \left[ 1;2 \right]$
Vậy phương trình $\left| f\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2} \right) \right|=m$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $\left| f\left( t \right) \right|=m$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow 2\le m\le 4$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là
Đặt $t=\dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2}$
Ta có ${t}'=\dfrac{-4{{x}^{2}}+4}{{{\left( 2{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
Với $2<a<4$.
Vậy phương trình $\left| f\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2} \right) \right|=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $2\le m\le 4$.
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là
Đặt $t=\dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2}$
Ta có ${t}'=\dfrac{-4{{x}^{2}}+4}{{{\left( 2{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình $\left| f\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2} \right) \right|=m$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $\left| f\left( t \right) \right|=m$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow 2\le m\le 4$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là
Đặt $t=\dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2}$
Ta có ${t}'=\dfrac{-4{{x}^{2}}+4}{{{\left( 2{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
Với $2<a<4$.
Vậy phương trình $\left| f\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+2x+3}{2{{x}^{2}}+2} \right) \right|=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $2\le m\le 4$.
Đáp án D.