Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y=\left|f\left(x\right)\right|$ là

Đặt $t={\displaystyle \frac{3x^2+2x+3}{2x^2+2}}$
Ta có $t^{\prime }={\displaystyle \frac{-4x^2+4}{{(2x^2+2)}^2}}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=1\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $x\in \mathbb{R}\iff t\in [1;2]$
Vậy phương trình $\left|f\left({\displaystyle \frac{3x^2+2x+3}{2x^2+2}}\right)\right|=m$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $\left|f\left(t\right)\right|=m$ có nghiệm $t\in [1;2]\iff 2\le m\le 4$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y=\left|f\left(x\right)\right|$ là

Đặt $t={\displaystyle \frac{3x^2+2x+3}{2x^2+2}}$
Ta có $t^{\prime }={\displaystyle \frac{-4x^2+4}{{(2x^2+2)}^2}}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=1\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Với $2<a<4$.
Vậy phương trình $\left|f\left({\displaystyle \frac{3x^2+2x+3}{2x^2+2}}\right)\right|=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $2\le m\le 4$.