Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Đặt $t={\displaystyle \frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}}\iff (2t+1)\cos x-(t+3)\sin x=-1-4t$ $(\ast )$.
Phương trình $(\ast )$ có nghiệm ${(2t+1)}^2+{(t+3)}^2\ge {(4t+1)}^2\iff -{\displaystyle \frac{9}{11}}\le t\le 1$, suy ra $0\le \left|t\right|\le 1$.
Từ đồ thị $y=f\left(x\right)$ ta có
$y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $[0;+\mathrm{\infty })$
$m^2+4m+4={(m+2)}^2\in [0;+\mathrm{\infty })$.
$\left|t\right|\in [0;+\mathrm{\infty })$
Nên $f\left(\left|{\displaystyle \frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}}\right|\right)=f(m^2+4m+4)\iff f\left(\left|t\right|\right)=f(m^2+4m+4)$
$\iff \left|t\right|=m^2+4m+4$
Phương trình $\left(1\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi
$0\le m^2+4m+4\le 1\iff m^2+4m+4\le 1\iff -3\le m\le -1$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t={\displaystyle \frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}}\iff (2t+1)\cos x-(t+3)\sin x=-1-4t$ $(\ast )$.
Phương trình $(\ast )$ có nghiệm ${(2t+1)}^2+{(t+3)}^2\ge {(4t+1)}^2\iff -{\displaystyle \frac{9}{11}}\le t\le 1$, suy ra $0\le \left|t\right|\le 1$.

Dựa vào đồ thị trên $[0;1]$ hàm số $f\left(\left|t\right|\right)$ luôn đồng biến.
Yêu cầu bài toán trở thành đường thẳng $y=f(m^2+4m+4)$ có điểm chung với đồ thị $y=f\left(\left|t\right|\right)$
$\iff f\left(0\right)\le f(m^2+4m+4)\le f\left(1\right)\iff 0\le m^2+4m+4\le 1\iff -3\le m\le -1$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}$.