Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có nghiệm?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. Vô số.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. Vô số.
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Đặt $t=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\Leftrightarrow \left( 2t+1 \right)\cos x-\left( t+3 \right)\sin x=-1-4t$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm ${{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}\ge {{\left( 4t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le t\le 1$, suy ra $0\le \left| t \right|\le 1$.
Từ đồ thị $y=f\left( x \right)$ ta có
$y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$
${{m}^{2}}+4m+4={{\left( m+2 \right)}^{2}}\in \left[ 0;+\infty \right)$.
$\left| t \right|\in \left[ 0;+\infty \right)$
Nên $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)\Leftrightarrow f\left( \left| t \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$
$\Leftrightarrow \left| t \right|={{m}^{2}}+4m+4$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi
$0\le {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\Leftrightarrow \left( 2t+1 \right)\cos x-\left( t+3 \right)\sin x=-1-4t$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm ${{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}\ge {{\left( 4t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le t\le 1$, suy ra $0\le \left| t \right|\le 1$.
Dựa vào đồ thị trên $\left[ 0;1 \right]$ hàm số $f\left( \left| t \right| \right)$ luôn đồng biến.
Yêu cầu bài toán trở thành đường thẳng $y=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có điểm chung với đồ thị $y=f\left( \left| t \right| \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 0 \right)\le f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)\le f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0\le {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$.
Đặt $t=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\Leftrightarrow \left( 2t+1 \right)\cos x-\left( t+3 \right)\sin x=-1-4t$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm ${{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}\ge {{\left( 4t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le t\le 1$, suy ra $0\le \left| t \right|\le 1$.
Từ đồ thị $y=f\left( x \right)$ ta có
$y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$
${{m}^{2}}+4m+4={{\left( m+2 \right)}^{2}}\in \left[ 0;+\infty \right)$.
$\left| t \right|\in \left[ 0;+\infty \right)$
Nên $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)\Leftrightarrow f\left( \left| t \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$
$\Leftrightarrow \left| t \right|={{m}^{2}}+4m+4$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi
$0\le {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\Leftrightarrow \left( 2t+1 \right)\cos x-\left( t+3 \right)\sin x=-1-4t$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm ${{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}\ge {{\left( 4t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le t\le 1$, suy ra $0\le \left| t \right|\le 1$.
Dựa vào đồ thị trên $\left[ 0;1 \right]$ hàm số $f\left( \left| t \right| \right)$ luôn đồng biến.
Yêu cầu bài toán trở thành đường thẳng $y=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có điểm chung với đồ thị $y=f\left( \left| t \right| \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 0 \right)\le f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)\le f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0\le {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$.
Đáp án A.