Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình...

Phương pháp:
- Tìm khoảng giá trị của $f\left( \cos x \right)$ ứng với $x\in \left[ \dfrac{\pi }{2};\pi \right].$
- Đặt $t=\sqrt{2f\left( \cos x \right)},$ xác định khoảng giá trị của $t.$
- Đưa phương trình về dạng $f\left( t \right)=m,$ dựa vào đồ thị hàm số xác định các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm $t$ thuộc khoảng giá trị của nó xác định được ở phía trên.
Cách giải:
Ta có: $-1<\cos x\le 0\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{2};\pi \right),$ khi đó dựa vào đồ thị hàm số ta có $0\le f\left( \cos x \right)<2.$
$\Leftrightarrow 0\le 2f\left( \cos x \right)<4\Leftrightarrow 0\le \sqrt{2f\left( \cos x \right)}<2.$
Đặt $t=\sqrt{2f\left( \cos x \right)}\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right).$ Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm $t\in \left[ 0;2 \right).$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với $t\in \left[ 0;2 \right)$ thì $f\left( t \right)\in \left[ -2;2 \right),$ do đó phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left[ -2;2 \right).$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}.$
Vậy tổng các giá trị của $m$ thỏa mãn là $-2-1+0+1=-2.$