Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình dưới đây: Số nghiệm của phương trình $f\left( 3\sin x...

Ta có $Pt\iff f(3\sin x)=3\sqrt{1-{\sin }^{2}x}\iff f(3\sin x)=\sqrt{9-9{\sin }^{2}x}\left(1\right).$
Đặt $t=3\sin x(t\in [-3;3]).$ Phương trình $\left(1\right)$ trở thành $f\left(t\right)=\sqrt{9-t^2}\left(2\right).$
Gọi $\left(C\right)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt{9-t^2}$ suy ra $\left(C\right)$ là nửa trên đường tròn tâm $O,$ bán kính $R=3.$

Dựa vào đồ thị, ta có $\left(2\right)\iff [\begin{array}{rl}& t=a\in (-2;-1)\\ & t=b\in (0;1)\\ & t=c\in (1;3)\\ & t=3\end{array}.$ Ta có $(0;{\displaystyle \frac{9\pi }{2}})=\underset{2vong}{\underbrace{(0;4\pi ]}}\cup (4\pi ;{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}).$
Ta xét đường tròn lượng giác như sau:

Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy phương trình có $2.7+2=16$ nghiệm.