Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình dưới đây: Số nghiệm của phương trình $f\left( 3\sin x...

Ta có $Pt\Leftrightarrow f\left( 3\sin x \right)=3\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow f\left( 3\sin x \right)=\sqrt{9-9{{\sin }^{2}}x}\left( 1 \right).$
Đặt $t=3\sin x\left( t\in \left[ -3;3 \right] \right).$ Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $f\left( t \right)=\sqrt{9-{{t}^{2}}}\left( 2 \right).$
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt{9-{{t}^{2}}}$ suy ra $\left( C \right)$ là nửa trên đường tròn tâm $O,$ bán kính $R=3.$

Dựa vào đồ thị, ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=a\in \left( -2;-1 \right) \\
& t=b\in \left( 0;1 \right) \\
& t=c\in \left( 1;3 \right) \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có $ \left( 0;\dfrac{9\pi }{2} \right)=\underbrace{\left( 0;4\pi \right]}_{2vong}\cup \left( 4\pi ;\dfrac{9\pi }{2} \right).$
Ta xét đường tròn lượng giác như sau:

Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy phương trình có $2.7+2=16$ nghiệm.