Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx=4}$ và $\int\limits_{0}^{\pi /2}{f\left( \sin x \right)\cos xdx=2}.$ Tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $I=2$.
B. $I=6$.
C. $I=4$.
D. $I=10$.
A. $I=2$.
B. $I=6$.
C. $I=4$.
D. $I=10$.
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$. Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\to t=1 \\
& x=9\to t=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: $\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx=2\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt=4\to \int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt=2.}}}$
Đặt $t=\sin x;\ x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dt=\cos dx.$ Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\to t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\to t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó : $\int\limits_{0}^{\pi /2}{f\left( \sin x \right)\cos xdx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt=2.}}$
$I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=2+2=4.$
& x=1\to t=1 \\
& x=9\to t=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: $\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx=2\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt=4\to \int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt=2.}}}$
Đặt $t=\sin x;\ x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dt=\cos dx.$ Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\to t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\to t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó : $\int\limits_{0}^{\pi /2}{f\left( \sin x \right)\cos xdx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt=2.}}$
$I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=2+2=4.$
Đáp án C.