Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=$ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $ và có đồ thị như hình dưới đây
Với giả thiết, phương trình $f\left( 1-\sqrt{{{x}^{3}}+x} \right)=a$ có nghiệm. Giả sử khi tham số $a$ thay đổi, phương trình đã cho có nhiều nhất $m$ nghiệm và có ít nhất $n$ nghiệm. Giá trị của $m+n$ bằng
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $6$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $6$.
Ta có: $f\left( 1-\sqrt{{{x}^{3}}+x} \right)=a$ $\left( 1 \right)$. Điều kiện xác định: ${{x}^{3}}+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0$.
Đặt $t=1-\sqrt{{{x}^{3}}+x}$, phương trình (1) thành $f\left( t \right)=a \left( 2 \right)$.
Xét hàm số $y=1-\sqrt{{{x}^{3}}+x}$ trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$.
${y}'=-\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{2\sqrt{{{x}^{3}}+x}}<0 ,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số $y=1-\sqrt{{{x}^{3}}+x}$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=-\infty $ và $y\left( 0 \right)=1$ nên $t\le 1$ với mọi $x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Với mỗi giá trị $t\le 1$ có duy nhất giá trị $x\in \left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ số nghiệm của phương trình (1) là số nghiệm $t\le 1$ của phương trình (2).
Theo giả thiết, phương trình (1) có nghiệm $\Rightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t\le 1$ và từ đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ đã cho thì phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm $t\le 1$.
Vậy $m+n=3$.
Đặt $t=1-\sqrt{{{x}^{3}}+x}$, phương trình (1) thành $f\left( t \right)=a \left( 2 \right)$.
Xét hàm số $y=1-\sqrt{{{x}^{3}}+x}$ trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$.
${y}'=-\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{2\sqrt{{{x}^{3}}+x}}<0 ,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số $y=1-\sqrt{{{x}^{3}}+x}$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=-\infty $ và $y\left( 0 \right)=1$ nên $t\le 1$ với mọi $x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Với mỗi giá trị $t\le 1$ có duy nhất giá trị $x\in \left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ số nghiệm của phương trình (1) là số nghiệm $t\le 1$ của phương trình (2).
Theo giả thiết, phương trình (1) có nghiệm $\Rightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t\le 1$ và từ đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ đã cho thì phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm $t\le 1$.
Vậy $m+n=3$.
Đáp án C.