Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ , thỏa...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

R

, thỏa mãn điều kiện

{\begin{aligned} 2 x [1 + f (x)] = {[f^{'} (x)]}^{2}, \forall x \in R \\ f (0) = - 1 \end{aligned}

. Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng
A.

\frac{1}{4}

B.

- \frac{5}{6}

C.

\frac{- 17}{18}

D.

- \frac{2}{3}

Ta có:

2 x [1 + f (x)] = {[f^{'} (x)]}^{2} \Rightarrow \frac{{[f^{'} (x)]}^{2}}{1 + f (x)} = 2 x

Với

x \in [0; 1] \Rightarrow {\begin{aligned} 2 x > 0 \\ {[f^{'} (x)]}^{2} \geq 0 \end{aligned} \Rightarrow 1 + f (x) > 0

Do đó

\frac{\pm f^{'} (x)}{\sqrt{1 + f (x)}} = \sqrt{2 x}

với

x \in [0; 1]

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

\int \frac{\pm f^{'} (x)}{\sqrt{1 + f (x)}} d x = \int \sqrt{2 x} d x

\Leftrightarrow \pm 2 \int \frac{d [1 + f (x)]}{2 \sqrt{1 + f (x)}} = \sqrt{2} . \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C \Leftrightarrow \pm \sqrt{1 + f (x)} = \frac{\sqrt{2 x^{3}}}{3} + C

* TH1: Với

\sqrt{1 + f (x)} = \frac{\sqrt{2 x^{3}}}{3} + C \Rightarrow f (0) = - 1 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{2 x^{3}}{9} - 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{- 17}{18}

* TH2: Với

- \sqrt{1 + f (x)} = \frac{\sqrt{2 x^{3}}}{3} + C \Rightarrow f (0) = - 1 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow - \sqrt{1 + f (x)} = \frac{\sqrt{2 x^{3}}}{3}

(loại)
Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{- 17}{18}

.

Đáp án C.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, thỏa...