Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(-1 \right)=5, f\left(-3 \right)=0$ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $3f\left(2-x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+4}-x=m$ có nghiệm trong khoảng $\left(3; 5 \right)$ là
A. $16$.
B. $17$.
C. $0$.
D. $15$.
Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $3f\left(2-x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+4}-x=m$ có nghiệm trong khoảng $\left(3; 5 \right)$ là
A. $16$.
B. $17$.
C. $0$.
D. $15$.
Xét $g\left( x \right)=3f\left( 2-x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+4}-x$ trên khoảng $\left( 3;5 \right)$.
${g}'\left( x \right)=-3{f}'\left( 2-x \right)+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-1.$
Ta có $3<x<5\Leftrightarrow -3<2-x<-1$.
Suy ra ${f}'\left( 2-x \right)>0, \forall x\in \left( 3;5 \right)$ $\Rightarrow -3{f}'\left( 2-x \right)<0, \forall x\in \left( 3;5 \right) \left( 1 \right)$.
$\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}<1, \forall x\in \left( 3;5 \right)\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-1<0, \forall x\in \left( 3;5 \right) \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ${g}'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( 3;5 \right)$.
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ trên khoảng $\left( 3;5 \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra, để phương trình $3f\left( 2-x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+4}-x=m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 3;5 \right)$ thì $\sqrt{29}-5<m<12+\sqrt{13}$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3.....;15 \right\}$.
Vậy có 15 giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
${g}'\left( x \right)=-3{f}'\left( 2-x \right)+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-1.$
Ta có $3<x<5\Leftrightarrow -3<2-x<-1$.
Suy ra ${f}'\left( 2-x \right)>0, \forall x\in \left( 3;5 \right)$ $\Rightarrow -3{f}'\left( 2-x \right)<0, \forall x\in \left( 3;5 \right) \left( 1 \right)$.
$\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}<1, \forall x\in \left( 3;5 \right)\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-1<0, \forall x\in \left( 3;5 \right) \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ${g}'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( 3;5 \right)$.
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ trên khoảng $\left( 3;5 \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra, để phương trình $3f\left( 2-x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+4}-x=m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 3;5 \right)$ thì $\sqrt{29}-5<m<12+\sqrt{13}$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3.....;15 \right\}$.
Vậy có 15 giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.