Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $\underset{x\in \left[ 0;10 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4$. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)-{{x}^{2}}+2x+m$. Giá trị của tham số m để $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=8$ là:
A. 5.
B. 4.
C. -1
D. 3.
A. 5.
B. 4.
C. -1
D. 3.
Xét $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)-{{x}^{2}}+2x+m$ trên $\left[ 0;2 \right]$ ta có:
Với mọi $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì ${{x}^{3}}+x\in \left[ 0;10 \right]$ nên $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( {{x}^{3}}+x \right)=4$ xảy ra khi ${{x}^{3}}+x=2\Leftrightarrow x=1$.
Lại có $-{{x}^{2}}+2x+m=m+1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le m+1$ nên $\max \left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=m+1$ xảy ra khi $x=1$.
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=4+m+1=5+m$.
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi $5+m=8\Leftrightarrow m=3$.
Với mọi $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì ${{x}^{3}}+x\in \left[ 0;10 \right]$ nên $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( {{x}^{3}}+x \right)=4$ xảy ra khi ${{x}^{3}}+x=2\Leftrightarrow x=1$.
Lại có $-{{x}^{2}}+2x+m=m+1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le m+1$ nên $\max \left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=m+1$ xảy ra khi $x=1$.
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=4+m+1=5+m$.
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi $5+m=8\Leftrightarrow m=3$.
Đáp án D.