Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( 2\sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x<m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\pi \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$
B. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$
C. $m\ge f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$
D. $m>f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$
Đặt $t=2\sin x$.
Do $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right)$.
Bất phương trình trở thành: $f\left( t \right)-\dfrac{{{t}^{2}}}{2}<m,\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\dfrac{{{t}^{2}}}{2}$ trên $\left( 0;2 \right)$.
Bài toán trở thành $g\left( t \right)<m,\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
Ta có ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-t=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=t$.
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( t \right)$ trên $\left( 0;2 \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $m>\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
Vậy $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
A. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$
B. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$
C. $m\ge f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$
D. $m>f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$
Đặt $t=2\sin x$.
Do $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right)$.
Bất phương trình trở thành: $f\left( t \right)-\dfrac{{{t}^{2}}}{2}<m,\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\dfrac{{{t}^{2}}}{2}$ trên $\left( 0;2 \right)$.
Bài toán trở thành $g\left( t \right)<m,\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
Ta có ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-t=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=t$.
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( t \right)$ trên $\left( 0;2 \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $m>\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
Vậy $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
Đáp án B.