Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng...

Ta có: $\left[ f\left( x \right)+6\text{x} \right]f\left( x \right)=9{{\text{x}}^{4}}+3{{\text{x}}^{2}}+4$ $$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+6x.f\left( x \right)+9{{\text{x}}^{2}}=9{{\text{x}}^{4}}+12{{\text{x}}^{2}}+4$
$\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)+3\text{x} \right]}^{2}}={{\left( 3{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x+2 \\
& f\left( x \right)=-3{{\text{x}}^{2}}-3x-2 \\
\end{align} \right. $. Vì $ f\left( 0 \right)>0 $ nên $ f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x+2$.
Xét hàm số $y=f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+1 \right)$.
Đặt $2{{\text{x}}^{2}}-3x+1=t$, với $x\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow t\in \left[ -\dfrac{1}{8};1 \right]$.
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3t+2$ trên $\left[ -\dfrac{1}{8};1 \right]$.
Xét ${f}'\left( t \right)=6t-3$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( -\dfrac{1}{8} \right)=\dfrac{155}{64} \\
& f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{5}{4} \\
& f\left( 1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right. $. Do vậy $ \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+1 \right)=\dfrac{155}{64}$.