Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ...

Phương pháp:
- Tính $h'\left( x \right).$
- Sử dụng tương giao giải phương trình $h'\left( x \right)=0.$
- Lập BBT hàm số $h\left( x \right)$ trên $\left[ -3;3 \right].$
- So sánh $f\left( -3 \right),f\left( 3 \right)$ bằng tích phân và suy ra $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right).$
- Giải bất phương trình $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)\le 2021$ tìm $m.$
Cách giải:
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}+m$ ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)-\left( x+1 \right).$
Cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x+1\left( * \right).$
Vẽ đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ và $y=x+1$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
BBT:

Ta cần so sánh $h\left( -3 \right)$ và $h\left( 3 \right).$
Ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ f'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]dx}=\int\limits_{-3}^{1}{h'\left( x \right)dx}=h\left( 1 \right)-h\left( -3 \right)$
${{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{3}{\left[ x+1-f'\left( x \right) \right]dx}=-\int\limits_{1}^{3}{h'\left( x \right)dx}=h\left( 1 \right)-h\left( 3 \right)$
Dễ thấy ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Rightarrow h\left( 1 \right)-h\left( -3 \right)>h\left( 1 \right)-h\left( 3 \right)\Leftrightarrow h\left( -3 \right)<h\left( 3 \right).$
$\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( -3 \right)=f\left( -3 \right)-2+m.$
Để giá trị nhỏ nhất của hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}+m$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ không vượt quá 2021 thì $f\left( -3 \right)-2+m\le 2021\Leftrightarrow m\le -f\left( -3 \right)+2023.$
Vậy $m\in \left( -\infty ;-f\left( -3 \right)+2023 \right].$