Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}.$ Mệnh đề dưới đây đúng?
A. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
C. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)$.
D. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$
A. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
C. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)$.
D. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$
$g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( x+1 \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Và
với $x\in \left( -\infty ;-3 \right):{f}'\left( x \right)<x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$
với $x\in \left( -3;1 \right):{f}'\left( x \right)>x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$,
với $x\in \left( 1;3 \right):{f}'\left( x \right)<x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$
với $x\in \left( 3;+\infty \right):{f}'\left( x \right)>x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
Dựa vào đồ thị ta thấy
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Và
với $x\in \left( -\infty ;-3 \right):{f}'\left( x \right)<x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$
với $x\in \left( -3;1 \right):{f}'\left( x \right)>x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$,
với $x\in \left( 1;3 \right):{f}'\left( x \right)<x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$
với $x\in \left( 3;+\infty \right):{f}'\left( x \right)>x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
Đáp án D.