Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ...

$\dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3\Leftrightarrow 8{{m}^{3}}+2m=\left( 2{{f}^{2}}\left( x \right)+6 \right)\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$ $\left( * \right)$
Đặt $t=\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}, t\ge \sqrt{5}$. Khi đó $\left( * \right)$ trở thành ${{\left( 2m \right)}^{3}}+2m={{t}^{3}}+t$ $\left( ** \right)$.
Vì hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0, \forall t\in \mathbb{R}$ nên luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow 2m=t$. Vì $t\ge \sqrt{5}\Rightarrow 2m\ge \sqrt{5}\Rightarrow m\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Do đó $2m=t\Leftrightarrow $ $4{{m}^{2}}=2{{f}^{2}}\left( x \right)+5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}} \\
& f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}=4 \\
& -\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}=16\Leftrightarrow m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\left( \text{v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\! m\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)$.
Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.