Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ...

Phương trình $\dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3\Leftrightarrow 4{{m}^{3}}+m=\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+3 \right)\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$
Đặt $u=\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}\Rightarrow {{u}^{2}}-5=2{{f}^{2}}\left( x \right)$
$\Rightarrow 4{{m}^{3}}+m=\left( \dfrac{{{u}^{2}}-5}{2}+3 \right)u\Leftrightarrow {{\left( 2m \right)}^{3}}+2m={{u}^{3}}+u$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\forall t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Pt ${{\left( 2m \right)}^{3}}+2m={{u}^{3}}+u\Leftrightarrow 2m=u\Leftrightarrow 2m=\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 2{{f}^{2}}\left( x \right)+5=4{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 4{{m}^{2}}-5\ge 0 \\
& f\left( x \right)=\pm \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
& f\left( x \right)=\pm \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}} \\
\end{aligned} \right.$
TH: $m=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow f\left( x \right)=0\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm.
TH: $m>\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Để ý thấy $f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}<0$ có 1 nghiệm
Để phương trình có 3 nghiệm thì $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}>0$ có 2 nghiệm
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{37}{4}\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
Vậy $m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán.