Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ , có đồ...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

R

, có đồ thị như hình vẽ.

Các giá trị của tham số m để phương trình

\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3

có 3 nghiệm phân biệt là?
A.

m = \pm \frac{\sqrt{37}}{2}

.
B.

m = \frac{\sqrt{37}}{2}

.
C.

m = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}

.
D.

m = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Ta có

\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3 \Leftrightarrow {(2 m)}^{3} + 2 m = {(2 f^{2} (x) + 5)}^{3} + \sqrt{2 f^{2} (x) + 5}

Xét hàm

g (t) = t^{3} + t

và đi đến kết quả

\sqrt{2 f^{2} (x) + 5} = 2 m \Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 m \geq \sqrt{5} \\ f^{2} (x) = \frac{4 m^{2} - 5}{2} \end{aligned}

Ta có

f^{2} (x) = \frac{4 m^{2} - 5}{2} \Leftrightarrow {\begin{aligned} f (x) = \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} (1) \\ f (x) = - \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} (2) \end{aligned}

Với điều kiện

m \geq \frac{\sqrt{5}}{2}

thì phương trình

(2)

luôn có một nghiệm duy nhất, để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow (1)

có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình

(2) \Rightarrow \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} = 4 \Leftrightarrow \frac{4 m^{2} - 5}{2} = 16 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{37}{4} \Rightarrow m = \frac{\sqrt{37}}{2}

.

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, có đồ...