Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị như hình vẽ.
Các giá trị của tham số m để phương trình $\dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3$ có 3 nghiệm phân biệt là?
A. $m=\pm \dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
B. $m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
C. $m=\pm \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
D. $m=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Các giá trị của tham số m để phương trình $\dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3$ có 3 nghiệm phân biệt là?
A. $m=\pm \dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
B. $m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
C. $m=\pm \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
D. $m=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $\dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3\Leftrightarrow {{\left( 2m \right)}^{3}}+2m={{\left( 2{{f}^{2}}\left( x \right)+5 \right)}^{3}}+\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$
Xét hàm $g\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ và đi đến kết quả $\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}=2m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m\ge \sqrt{5} \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện $m\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ luôn có một nghiệm duy nhất, để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)\Rightarrow \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}=4\Leftrightarrow \dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{37}{4}\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
Xét hàm $g\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ và đi đến kết quả $\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}=2m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m\ge \sqrt{5} \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện $m\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ luôn có một nghiệm duy nhất, để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)\Rightarrow \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}=4\Leftrightarrow \dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{37}{4}\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.
Đáp án B.