Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}.$ Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ bằng
A. $g\left( 0 \right).$
B. $g\left( 3 \right).$
C. $g\left( 1 \right).$
D. $g\left( -3 \right)$
A. $g\left( 0 \right).$
B. $g\left( 3 \right).$
C. $g\left( 1 \right).$
D. $g\left( -3 \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right);$ ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x-1$
Dựa vào hình vẽ, ta được ${f}'\left( x \right)=x-1\Leftrightarrow x=\left\{ -3;1;3 \right\}$
Lập bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\left\{ g\left( -3 \right);g\left( 3 \right) \right\}$
Lại có ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left| {g}'\left( x \right) \right|dx}>\int\limits_{1}^{3}{\left| {g}'\left( x \right) \right|dx}\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>-\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow \left. g\left( x \right) \right|_{-3}^{1}>-\left. g\left( x \right) \right|_{1}^{3}\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<g\left( 3 \right)$
Vậy $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right).$
Dựa vào hình vẽ, ta được ${f}'\left( x \right)=x-1\Leftrightarrow x=\left\{ -3;1;3 \right\}$
Lập bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\left\{ g\left( -3 \right);g\left( 3 \right) \right\}$
Lại có ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left| {g}'\left( x \right) \right|dx}>\int\limits_{1}^{3}{\left| {g}'\left( x \right) \right|dx}\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>-\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow \left. g\left( x \right) \right|_{-3}^{1}>-\left. g\left( x \right) \right|_{1}^{3}\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<g\left( 3 \right)$
Vậy $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right).$
Đáp án D.