Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \right)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Ta có: ${y}'=\left( x+1 \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}} \right).{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \right)$
Khi đó: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \\
& {f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& \left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \right)\in \left\{ -1;1;3 \right\} \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}=\dfrac{5}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}} \\
& {{x}^{2}}+2x+9\ge 8;{{x}^{2}}+2x+4\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 0<\dfrac{5}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}}\le \dfrac{5}{\sqrt{8}+\sqrt{3}}\approx 1,096$ (2*)
Từ (*), (2*), suy ra: $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}-1$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+2x+9={{x}^{2}}+2x+4-2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}+1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${y}'=0\Leftrightarrow x\in \left\{ -1;0;-2 \right\}$
Tính ${y}'\left( 1 \right)=2.\left( \dfrac{1}{\sqrt{12}}-\dfrac{1}{\sqrt{7}} \right).{f}'\left( \sqrt{12}-\sqrt{7} \right)\approx -0,18.{f}'\left( 0,82 \right)>0$ (do ${f}'\left( 0,82 \right)<0$ )
Khí đó ta có bẳng xét dấu của ${y}'$ như sau:
Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu
Khi đó: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \\
& {f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& \left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4} \right)\in \left\{ -1;1;3 \right\} \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}=\dfrac{5}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}} \\
& {{x}^{2}}+2x+9\ge 8;{{x}^{2}}+2x+4\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 0<\dfrac{5}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}}\le \dfrac{5}{\sqrt{8}+\sqrt{3}}\approx 1,096$ (2*)
Từ (*), (2*), suy ra: $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}-1$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+2x+9={{x}^{2}}+2x+4-2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}+1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${y}'=0\Leftrightarrow x\in \left\{ -1;0;-2 \right\}$
Tính ${y}'\left( 1 \right)=2.\left( \dfrac{1}{\sqrt{12}}-\dfrac{1}{\sqrt{7}} \right).{f}'\left( \sqrt{12}-\sqrt{7} \right)\approx -0,18.{f}'\left( 0,82 \right)>0$ (do ${f}'\left( 0,82 \right)<0$ )
Khí đó ta có bẳng xét dấu của ${y}'$ như sau:
Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu
Đáp án C.