Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ...

Ta có: $[f\left(x\right)+x-1](x^2-x-6)>0(\ast )$.
TH1: $\{\begin{array}{rl}& x^2-x-6>0\\ & f\left(x\right)+x-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& x<-2\\ & x>3\end{array}\\ & f\left(x\right)>1-x\end{array}$.
Đường thẳng $y=1-x$ đi qua các điểm $(-3;4);(-1;2);(0;1);(2;-1)$ như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 4 điểm như trên.
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left(x\right)>1-x\iff [\begin{array}{rl}& -3<x<-1\\ & x>2\end{array}$.
Kết hợp điều kiện $[\begin{array}{rl}& x>-2\\ & x>3\end{array}$ thì ta có: $[\begin{array}{rl}& -3<x<-2\\ & x>3\end{array}\left(1\right)$.
TH2: $\{\begin{array}{rl}& x^2-x-6<0\\ & f\left(x\right)+x-1<0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& -2<x<3\\ & f\left(x\right)<1-x\end{array}$
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left(x\right)<1-x\iff [\begin{array}{rl}& x<-3\\ & -1<x<2\end{array}$ kết hợp với $-2<x<3$ ta được $-1<x<2\left(2\right)$.
Từ (1) và (2) ta có $[\begin{array}{rl}& -3<x<-2\\ & -1<x<2\\ & x>3\end{array}$ mà $x\in (-10;10)$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{0;1;4;5;6;7;8;9\}$.
Nhận thấy tại $x=0$ thì $f\left(0\right)=1\Rightarrow f\left(x\right)+x-1=f\left(1\right)-1=0\Rightarrow$ VT của (*) nên bằng 0 nên $x=0$ không thỏa mãn bất phương trình.
Có 7 giá trị x thỏa mãn đề bài.
Lưu ý:
Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ để xét dấu biểu thức $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.
Trên khoảng $(a;b)$, đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$ thì $f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$.