Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ. Biết trên $\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ thì $f'\left( x \right)>0$. Số nghiệm nguyên thuộc $\left( -10;10 \right)$ của bất phương trình $\left[ f\left( x \right)+x-1 \right]\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)>0$ là:
A. 9.
B. 10.
C. 8.
D. 7.
A. 9.
B. 10.
C. 8.
D. 7.
Ta có: $\left[ f\left( x \right)+x-1 \right]\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)>0\ \ \ \left( * \right)$.
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6>0 \\
& f\left( x \right)+x-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)>1-x \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng $y=1-x$ đi qua các điểm $\left( -3;4 \right);\left( -1;2 \right);\left( 0;1 \right);\left( 2;-1 \right)$ như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 4 điểm như trên.
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right)>1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -3<x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện $\left[ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right. $ thì ta có: $ \left[ \begin{aligned}
& -3<x<-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.\ \ \ \left( 1 \right)$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6<0 \\
& f\left( x \right)+x-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2<x<3 \\
& f\left( x \right)<1-x \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right)<1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-3 \\
& -1<x<2 \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp với $ -2<x<3 $ ta được $ -1<x<2\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) ta có $\left[ \begin{aligned}
& -3<x<-2 \\
& -1<x<2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right. $ mà $ x\in \left( -10;10 \right) $ và $ x\in \mathbb{Z} $ nên $ x\in \left\{ 0;1;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Nhận thấy tại $x=0$ thì $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow f\left( x \right)+x-1=f\left( 1 \right)-1=0\Rightarrow $ VT của (*) nên bằng 0 nên $x=0$ không thỏa mãn bất phương trình.
Có 7 giá trị x thỏa mãn đề bài.
Lưu ý:
Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ để xét dấu biểu thức $f\left( x \right)-g\left( x \right)$.
Trên khoảng $\left( a;b \right)$, đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ thì $f\left( x \right)-g\left( x \right)>0$.
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6>0 \\
& f\left( x \right)+x-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)>1-x \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng $y=1-x$ đi qua các điểm $\left( -3;4 \right);\left( -1;2 \right);\left( 0;1 \right);\left( 2;-1 \right)$ như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 4 điểm như trên.
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right)>1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -3<x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện $\left[ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right. $ thì ta có: $ \left[ \begin{aligned}
& -3<x<-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.\ \ \ \left( 1 \right)$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-6<0 \\
& f\left( x \right)+x-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2<x<3 \\
& f\left( x \right)<1-x \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right)<1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-3 \\
& -1<x<2 \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp với $ -2<x<3 $ ta được $ -1<x<2\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) ta có $\left[ \begin{aligned}
& -3<x<-2 \\
& -1<x<2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right. $ mà $ x\in \left( -10;10 \right) $ và $ x\in \mathbb{Z} $ nên $ x\in \left\{ 0;1;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Nhận thấy tại $x=0$ thì $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow f\left( x \right)+x-1=f\left( 1 \right)-1=0\Rightarrow $ VT của (*) nên bằng 0 nên $x=0$ không thỏa mãn bất phương trình.
Có 7 giá trị x thỏa mãn đề bài.
Lưu ý:
Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ để xét dấu biểu thức $f\left( x \right)-g\left( x \right)$.
Trên khoảng $\left( a;b \right)$, đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ thì $f\left( x \right)-g\left( x \right)>0$.
Đáp án D.