Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ...

Ta có $\dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3\Leftrightarrow 4{{m}^{3}}+m=\left( {{f}^{2}}(x)+3 \right)\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$
$\Leftrightarrow 8{{m}^{3}}+2m=\left( 2{{f}^{2}}\left( x \right)+6 \right)\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2m \right)}^{3}}=\left( 2{{f}^{2}}\left( x \right)+5 \right)\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}+\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+5}$ (*)
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0;\forall t\Rightarrow g\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Phương trình (*) suy ra $g\left( 2m \right)=g\left( \sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5} \right)\Leftrightarrow \sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}=2m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 2{{f}^{2}}\left( x \right)+5=4{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
(vì $f\left( x \right)=0$ chỉ có hai nghiệm phân biệt nên $m>\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ).
+ Vì $-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}<0$ nên từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}$ có một nghiệm duy nhất.
Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}$ có hai nghiệm phân biệt.
+ Vì $\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}>0$ nên từ đồ thị hàm số $\Rightarrow \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5=32\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\left( \text{thoa man} \right) \\
& m=-\dfrac{\sqrt{37}}{2}\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$.