Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ...

Ta có ${\displaystyle \frac{4m^3+m}{\sqrt{2f^2\left(x\right)+5}}}=f^2\left(x\right)+3\iff 4m^3+m=(f^2(x)+3)\sqrt{2f^2\left(x\right)+5}$
$\iff 8m^3+2m=(2f^2\left(x\right)+6)\sqrt{2f^2\left(x\right)+5}$
$\iff {\left(2m\right)}^3=(2f^2\left(x\right)+5)\sqrt{2f^2\left(x\right)+5}+\sqrt{f^2\left(x\right)+5}$ (*)
Xét hàm số $g\left(t\right)=t^3+t$ có $g^{\prime }\left(t\right)=3t^2+1>0;\mathrm{\forall }t\Rightarrow g\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Phương trình (*) suy ra $g\left(2m\right)=g\left(\sqrt{2f^2\left(x\right)+5}\right)\iff \sqrt{2f^2\left(x\right)+5}=2m$
$\iff \{\begin{array}{rl}& m>0\\ & 2f^2\left(x\right)+5=4m^2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m>0\\ & f^2\left(x\right)={\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m>{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\\ & [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}\left(1\right)\\ & f\left(x\right)=-\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}\left(2\right)\end{array}\end{array}$
(vì $f\left(x\right)=0$ chỉ có hai nghiệm phân biệt nên $m>{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$ ).
+ Vì $-\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}<0$ nên từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left(x\right)=-\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}$ có một nghiệm duy nhất.
Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình $f\left(x\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}$ có hai nghiệm phân biệt.
+ Vì $\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}>0$ nên từ đồ thị hàm số $\Rightarrow \sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2-5}{2}}}=4\iff 4m^2-5=32\iff [\begin{array}{rl}& m={\displaystyle \frac{\sqrt{37}}{2}}\left(\text{thoa man}\right)\\ & m=-{\displaystyle \frac{\sqrt{37}}{2}}\left(loai\right)\end{array}$.