Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}}$ (như hình vẽ)và ${{S}_{1}}={{S}_{4}}=10,{{S}_{2}}={{S}_{3}}=8.$ Biết tích phân $I=\int\limits_{\sqrt[3]{{{e}^{4}}}}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( 3\ln x-4 \right)+1}{x}dx}=\dfrac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z};\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tích $ab?$
A. 31.
B. 84.
C. $-84$
D. $-24$
A. 31.
B. 84.
C. $-84$
D. $-24$
Ta có $I=\int\limits_{\sqrt[3]{{{e}^{4}}}}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( 3\ln x-4 \right)+1}{x}dx}=\int\limits_{\sqrt[3]{{{e}^{4}}}}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( 3\ln x-4 \right)}{x}dx}+\int\limits_{\sqrt[3]{{{e}^{4}}}}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{1}{x}dx}=J+\dfrac{2}{3}.$
Xét $J=\int\limits_{\sqrt[3]{{{e}^{4}}}}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( 3\ln x-4 \right)}{x}dx}.$
Đặt $J=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{3}\left( \int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx} \right)=\dfrac{1}{3}\left( -{{S}_{2}}+{{S}_{3}}-{{S}_{4}} \right)=-\dfrac{10}{3}.$
Do đó $I=-\dfrac{10}{3}+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{8}{3}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow a.b=-24.$
Xét $J=\int\limits_{\sqrt[3]{{{e}^{4}}}}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( 3\ln x-4 \right)}{x}dx}.$
Đặt $J=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{3}\left( \int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx} \right)=\dfrac{1}{3}\left( -{{S}_{2}}+{{S}_{3}}-{{S}_{4}} \right)=-\dfrac{10}{3}.$
Do đó $I=-\dfrac{10}{3}+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{8}{3}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow a.b=-24.$
Đáp án D.