Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết...

Dựa vào đồ thị hàm $y={f}'\left( x \right)$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm $y=f\left( x \right)$ như sau
Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm $y={f}'\left( x \right)$ ta thấy
$\left\{ \begin{aligned}
& \int\limits_{-3}^{1}{{f}'\left( x \right)\text{d}x>\int\limits_{1}^{2}{-{f}'\left( x \right)\text{d}x}} \\
& \int\limits_{1}^{2}{-{f}'\left( x \right)\text{d}x<\int\limits_{2}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)-f\left( -3 \right)>f\left( 1 \right)-f\left( 2 \right) \\
& f\left( 1 \right)-f\left( 2 \right)<f\left( 4 \right)-f\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( -3 \right)<f\left( 2 \right) \\
& f\left( 1 \right)<f\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với bảng biến thiên hàm $y=f\left( x \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( 2 \right)=-\dfrac{28}{225} \\
\end{aligned} \right. $, ta suy ra bảng biến thiên hàm $ y=f\left( x \right)+m$ như sau
Để hàm $y=\left| f\left( x \right)+m \right|$ có nhiều điểm cực trị nhất thì đồ thị hàm $y=f\left( x \right)+m$ cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất. Dựa vào bảng biến thiên trên ta được $m-\dfrac{28}{225}<0<m\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{28}{225}$.
Suy ra $0<450m<56$ mà $450m\in \mathbb{Z}$ nên $450m\in \left\{ 1;2;...;54;55 \right\}$.
Vậy có $55$ giá trị thực $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.