Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết...

Dựa vào đồ thị hàm $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm $y=f\left(x\right)$ như sau
Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta thấy
$\{\begin{array}{rl}& \underset{-3}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\text{d}x>\underset{1}{\overset{2}{\int }}-f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x\\ & \underset{1}{\overset{2}{\int }}-f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x<\underset{2}{\overset{4}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\text{d}x\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& f\left(1\right)-f(-3)>f\left(1\right)-f\left(2\right)\\ & f\left(1\right)-f\left(2\right)<f\left(4\right)-f\left(2\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& f(-3)<f\left(2\right)\\ & f\left(1\right)<f\left(4\right)\end{array}$.
Kết hợp với bảng biến thiên hàm $y=f\left(x\right)$ và $\{\begin{array}{rl}& f\left(1\right)=0\\ & f\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{28}{225}}\end{array}$, ta suy ra bảng biến thiên hàm $y=f\left(x\right)+m$ như sau
Để hàm $y=|f\left(x\right)+m|$ có nhiều điểm cực trị nhất thì đồ thị hàm $y=f\left(x\right)+m$ cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất. Dựa vào bảng biến thiên trên ta được $m-{\displaystyle \frac{28}{225}}<0<m\iff 0<m<{\displaystyle \frac{28}{225}}$.
Suy ra $0<450m<56$ mà $450m\in \mathbb{Z}$ nên $450m\in \{1;2;...;54;55\}$.
Vậy có $55$ giá trị thực $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.