Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên M và có đồ thị $\left( C \right)$. Biết hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}=1$ tạo với nhau một góc 45°, hai tiếp tuyến này cùng với trục hoành tạo thành một tam giác nhọn có số đo ba góc lập thành một cấp số cộng. Biết rằng biểu thức $A=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}$ dương. Khi đó giá trị của A bằng
A. 2.
B. $2+2\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{3}+2$.
D. $\sqrt{3}+1$.
A. 2.
B. $2+2\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{3}+2$.
D. $\sqrt{3}+1$.
Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ là không xác định tại ${{x}_{0}}=1$ ; nhưng tồn tại các đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm ${{x}_{0}}=1$ ; tức là $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}={f}'\left( {{1}^{+}} \right)$ và $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}={f}'\left( {{1}^{-}} \right)$
Các giá trị đạo hàm này lần lượt là hệ số góc của hai tiếp tuyến.
Dễ dàng suy ra được tam giác mà hai tiếp tuyến tạo với Ox có một góc bằng 60° và một góc bằng 75°.
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( {{1}^{-}} \right)+{f}'\left( {{1}^{+}} \right)=\tan 60{}^\circ -\tan 75{}^\circ =-2 \\
& {f}'\left( {{1}^{-}} \right)+{f}'\left( {{1}^{+}} \right)=\tan 75{}^\circ -\tan 60{}^\circ =2 \\
\end{aligned} \right.$
$A=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}+\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 1 \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}$
$\Rightarrow A=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}+\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 2-x \right)-f\left( 1 \right)}{1-x}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}+\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 2-x \right)-f\left( 1 \right)}{\left( 2-x \right)-1}$
Đặt $t=2-x$ ; nhận thấy khi $x\to {{1}^{+}}$ thì $t\to {{t}^{-}}$.
Suy ra $A={f}'\left( {{1}^{+}} \right)+\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( t \right)-f\left( 1 \right)}{t-1}={f}'\left( {{1}^{+}} \right)+{f}'\left( {{1}^{-}} \right)=2$ (do $A>0$ ).
Các giá trị đạo hàm này lần lượt là hệ số góc của hai tiếp tuyến.
Dễ dàng suy ra được tam giác mà hai tiếp tuyến tạo với Ox có một góc bằng 60° và một góc bằng 75°.
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( {{1}^{-}} \right)+{f}'\left( {{1}^{+}} \right)=\tan 60{}^\circ -\tan 75{}^\circ =-2 \\
& {f}'\left( {{1}^{-}} \right)+{f}'\left( {{1}^{+}} \right)=\tan 75{}^\circ -\tan 60{}^\circ =2 \\
\end{aligned} \right.$
$A=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}+\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 1 \right)-f\left( 2-x \right)}{x-1}$
$\Rightarrow A=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}+\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 2-x \right)-f\left( 1 \right)}{1-x}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}+\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 2-x \right)-f\left( 1 \right)}{\left( 2-x \right)-1}$
Đặt $t=2-x$ ; nhận thấy khi $x\to {{1}^{+}}$ thì $t\to {{t}^{-}}$.
Suy ra $A={f}'\left( {{1}^{+}} \right)+\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( t \right)-f\left( 1 \right)}{t-1}={f}'\left( {{1}^{+}} \right)+{f}'\left( {{1}^{-}} \right)=2$ (do $A>0$ ).
Đáp án A.