Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{2}; 2 \right]$ và thỏa điều kiện $f\left( x \right)+2.f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x \forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}$. Tính $I=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\dfrac{f\left( x \right)}{x}dx}$.
A. $I=\dfrac{3}{2}$.
B. $I=4\ln 2-\dfrac{15}{8}$.
C. $I=\dfrac{5}{2}$.
D. $I=4\ln 2+\dfrac{15}{8}$.
A. $I=\dfrac{3}{2}$.
B. $I=4\ln 2-\dfrac{15}{8}$.
C. $I=\dfrac{5}{2}$.
D. $I=4\ln 2+\dfrac{15}{8}$.
Xét $x\in {{\mathbb{R}}^{*}}$, ta có
$f\left( x \right)+2.f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x \left( 1 \right)$.
Thay $x$ bằng $\dfrac{1}{x}$ ta được
$f\left( \dfrac{1}{x} \right)+2.f\left( x \right)=\dfrac{3}{x} \left( 2 \right)$.
Nhân hai vế đẳng thức $\left( 2 \right)$ cho 2 rồi trừ cho đẳng thức $\left( 1 \right)$ vế theo vế ta có
$3f\left( x \right)=\dfrac{6}{x}-3x\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-1$.
Suy ra $I=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\dfrac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\left( \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-1 \right)\text{d}x=\left. \left( -\dfrac{2}{x}-x \right) \right|}_{\dfrac{1}{2}}^{2}=\dfrac{3}{2}$.
$f\left( x \right)+2.f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x \left( 1 \right)$.
Thay $x$ bằng $\dfrac{1}{x}$ ta được
$f\left( \dfrac{1}{x} \right)+2.f\left( x \right)=\dfrac{3}{x} \left( 2 \right)$.
Nhân hai vế đẳng thức $\left( 2 \right)$ cho 2 rồi trừ cho đẳng thức $\left( 1 \right)$ vế theo vế ta có
$3f\left( x \right)=\dfrac{6}{x}-3x\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-1$.
Suy ra $I=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\dfrac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\left( \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-1 \right)\text{d}x=\left. \left( -\dfrac{2}{x}-x \right) \right|}_{\dfrac{1}{2}}^{2}=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án A.