Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

(0; + \infty)

, thỏa mãn

3 x . f (x) - x^{2} . f^{'} (x) = 2 f^{2} (x), f (x) \neq 0

với

x \in (0; + \infty)

và

f (1) = \frac{1}{2} .

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f (x)

trên đoạn

[1; 2]

. Tính M + m.
A.

\frac{6}{5} .

B.

\frac{7}{5} .

C.

\frac{21}{10} .

D.

\frac{9}{10} .

Vì

x > 0

nên

3 x . f (x) - x^{2} . f^{'} (x) = 2 f^{2} (x) \Leftrightarrow 3 x^{2} . f (x) - x^{3} . f^{'} (x) = 2 x . f^{2} (x)

Vì

f (x) \neq 0

nên

3 x^{2} . f (x) - x^{3} . f^{'} (x) = 2 x . f^{2} (x) \Leftrightarrow 3 x^{2} . \frac{1}{f (x)} - x^{3} . \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 2 x

\Leftrightarrow 3 x^{2} . \frac{1}{f (x)} - x^{3} . \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 2 x \Leftrightarrow {(x^{3} . \frac{1}{f (x)})}^{'} = 2 x \Rightarrow x^{3} . \frac{1}{f (x)} = x^{2} + C

Mà

f (1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} .

Xét hàm số

f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}

trên đoạn [1;2]

f^{'} (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} > 0, \forall x \in [1; 2],

suy ra hàm số đồng biến trên [1;2].
Khi đó

{\begin{aligned} min_{[1; 2]} f (x) = f (1) = \frac{1}{2} \\ max_{[1; 2]} f (x) = f (2) = \frac{8}{5} \end{aligned} \Rightarrow M + m = \frac{21}{10}

.

Đáp án C.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $\left( 0;+\infty...