Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$, thỏa mãn $3x.f\left( x \right)-{{x}^{2}}.f'\left( x \right)=2{{f}^{2}}\left( x \right),f\left( x \right)\ne 0$ với $x\in \left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$. Tính M + m.
A. $\dfrac{6}{5}.$
B. $\dfrac{7}{5}.$
C. $\dfrac{21}{10}.$
D. $\dfrac{9}{10}.$
A. $\dfrac{6}{5}.$
B. $\dfrac{7}{5}.$
C. $\dfrac{21}{10}.$
D. $\dfrac{9}{10}.$
Vì $x>0$ nên $3x.f\left( x \right)-{{x}^{2}}.f'\left( x \right)=2{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}.f\left( x \right)-{{x}^{3}}.f'\left( x \right)=2x.{{f}^{2}}\left( x \right)$
Vì $f\left( x \right)\ne 0$ nên $3{{x}^{2}}.f\left( x \right)-{{x}^{3}}.f'\left( x \right)=2x.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)}-{{x}^{3}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)}-{{x}^{3}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)'=2x\Rightarrow {{x}^{3}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C$
Mà $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$ trên đoạn [1;2]
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in [1;2],$ suy ra hàm số đồng biến trên [1;2].
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2} \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+m=\dfrac{21}{10}$.
Vì $f\left( x \right)\ne 0$ nên $3{{x}^{2}}.f\left( x \right)-{{x}^{3}}.f'\left( x \right)=2x.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)}-{{x}^{3}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)}-{{x}^{3}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)'=2x\Rightarrow {{x}^{3}}.\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C$
Mà $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$ trên đoạn [1;2]
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in [1;2],$ suy ra hàm số đồng biến trên [1;2].
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2} \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+m=\dfrac{21}{10}$.
Đáp án C.