Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$, thỏa mãn các điều kiện $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)}{x}=2$ và hàm số $y=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{\sin 2x} khi x>0 \\
& ax+b khi x\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ có đạo hàm tại điểm $ x=0 $. Giá trị của biểu thức $ a+b$ bằng
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
& \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{\sin 2x} khi x>0 \\
& ax+b khi x\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ có đạo hàm tại điểm $ x=0 $. Giá trị của biểu thức $ a+b$ bằng
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
Do $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)}{x}=2$ ta chọn nhanh $f\left( x \right)=2x.$ Khi đó $y=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4{{x}^{2}}}{\sin 2x} khi x>0 \\
& ax+b khi x\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số đã cho đạo hàm tại điểm $\text{x}=0$ nên nó liên tục tại điểm
$x=0\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} y\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{4{{x}^{2}}}{\sin 2x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( ax+b \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{2x}{\sin 2x} \right).2x=b\Leftrightarrow b=0.$
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm
$x=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} {y}'=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} {y}'\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{8x.sin2x-2\cos 2x.4{{x}^{2}}}{{{\sin }^{2}}2x}=a$
$\Leftrightarrow a=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left[ 4.\dfrac{2x}{\sin 2x}-2\cos 2x.{{\left( \dfrac{2x}{\sin 2x} \right)}^{2}} \right]=2\Rightarrow a+b=2.$
Cách 2: Với $\text{x}>0\Rightarrow {y}'=\dfrac{2f\left( x \right).{f}'\left( x \right).\sin 2x-2\cos 2x.{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{\sin }^{2}}2x}$
Do hàm số $y=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{\sin 2x} khi x>0 \\
& ax+b khi x\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ có đạo hàm tại điểm $ \text{x}=0$ nên nó liên tục tại điểm
$\text{x}=0\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} y\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{\sin 2x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( ax+b \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{2}}.\dfrac{{{x}^{2}}}{\sin 2x}=b$
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} .\dfrac{2x}{\sin 2x}.\dfrac{x}{2}=b\Leftrightarrow b=0.$ Mặt khác $\underset{x\to {{0}^{0}}}{\mathop{\lim }} {y}'\left( {{0}^{+}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} {y}'\left( {{0}^{-}} \right)\Rightarrow a=2.$
& \dfrac{4{{x}^{2}}}{\sin 2x} khi x>0 \\
& ax+b khi x\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số đã cho đạo hàm tại điểm $\text{x}=0$ nên nó liên tục tại điểm
$x=0\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} y\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{4{{x}^{2}}}{\sin 2x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( ax+b \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{2x}{\sin 2x} \right).2x=b\Leftrightarrow b=0.$
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm
$x=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} {y}'=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} {y}'\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{8x.sin2x-2\cos 2x.4{{x}^{2}}}{{{\sin }^{2}}2x}=a$
$\Leftrightarrow a=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left[ 4.\dfrac{2x}{\sin 2x}-2\cos 2x.{{\left( \dfrac{2x}{\sin 2x} \right)}^{2}} \right]=2\Rightarrow a+b=2.$
Cách 2: Với $\text{x}>0\Rightarrow {y}'=\dfrac{2f\left( x \right).{f}'\left( x \right).\sin 2x-2\cos 2x.{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{\sin }^{2}}2x}$
Do hàm số $y=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{\sin 2x} khi x>0 \\
& ax+b khi x\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ có đạo hàm tại điểm $ \text{x}=0$ nên nó liên tục tại điểm
$\text{x}=0\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} y\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{\sin 2x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( ax+b \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{2}}.\dfrac{{{x}^{2}}}{\sin 2x}=b$
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} .\dfrac{2x}{\sin 2x}.\dfrac{x}{2}=b\Leftrightarrow b=0.$ Mặt khác $\underset{x\to {{0}^{0}}}{\mathop{\lim }} {y}'\left( {{0}^{+}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} {y}'\left( {{0}^{-}} \right)\Rightarrow a=2.$
Đáp án A.