Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;4...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[0; 4]

và thỏa mãn điều kiện

4 x f (x^{2}) + 6 f (2 x) = \sqrt{4 - x^{2}}

. Tính tích phân

\int_{0}^{4} f (x) d x

.
A.

I = \frac{π}{5} .

B.

I = \frac{π}{2} .

C.

I = \frac{π}{20} .

D.

I = \frac{π}{10} .

Ta có:

4 x f (x^{2}) + 6 f (2 x) = \sqrt{4 - x^{2}} \Rightarrow \int_{0}^{2} [4 x f (x^{2}) + 6 f (2 x)] d x = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x

.

\Leftrightarrow 4 I_{1} + 6 I_{2} = I

.
Trong đó:

I_{1} = \int_{0}^{2} x f (x^{2}) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (x^{2}) d (x^{2}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f (x) d x .

\begin{aligned} I_{2} = \int_{0}^{2} f (2 x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (2 x) d (2 x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f (x) d x . \\ I = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos (2 t)) d t = [2 t + \sin (2 t)] | \begin{aligned} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{aligned} = π \end{aligned}

Khi đó ta có hệ:

{\begin{aligned} I_{1} = I_{2} \\ 4 I_{1} + 6 I_{2} = π \end{aligned} \Leftrightarrow I_{1} = I_{2} = \frac{π}{10} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f (x) d x = \frac{π}{10}

hay

\int_{0}^{4} f (x) d x = \frac{π}{5}

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $\left[ 0;4...