Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [1; 3], thỏa...

Sử dụng tính chất $I=\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{tf\left( t \right)dt}=-2$
Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt $t=4-x$
Sử dụng công thức $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$
Ta có: $I=\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{tf\left( t \right)dt}=-2$
Đặt $t=4-x\Rightarrow dt=-dx.$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=3 \\
& x=3\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=-\int\limits_{3}^{1}{\left( 4-x \right)f\left( 4-x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 4-x \right)f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow 2I=\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left( 4-x \right)f\left( x \right)dx}=-4$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{\left( 4-x+x \right)f\left( x \right)dx}=-4\Leftrightarrow 4\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=-4\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{3}{f\left( x \right)dx}=-1$