Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên có đồ thị...

Ta có: ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right)=2\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x-1 \right) \right].$
Và đường thẳng $y=x-1$ cùng với đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của hàm $g\left( x \right)$ trên $\left[ -3;3 \right]$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min g}} \left( x \right)=\min \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 3 \right) \right\}$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),y=x-1,x=-3,x=1.$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),y=x-1,x=1,x=3.$
Ta có ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x-1 \right) \right]dx>}\int\limits_{1}^{3}{\left[ \left( x-1 \right)-{f}'\left( x \right) \right]dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>\dfrac{1}{2}\int\limits_{-3}^{1}{\left[ -{g}'\left( x \right) \right]dx}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)dx}>0\Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{3}{{g}'\left( x \right)dx}>0\Leftrightarrow \left. g\left( x \right) \right|_{-3}^{3}>0$
$\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right).$