Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thoả mãn $f\left( 1 \right)=2$ ; ${f}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}}$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$. Giá trị của $f\left( 3 \right)$ bằng
A. $\sqrt[3]{34}$.
B. ${34}$.
C. $3$.
D. $\sqrt[3]{20}$.
A. $\sqrt[3]{34}$.
B. ${34}$.
C. $3$.
D. $\sqrt[3]{20}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right).{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}={{x}^{2}}$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$ nên lấy nguyên hàm hai vế ta được $\int{{f}'\left( x \right).{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\text{d}x}=\int{{{x}^{2}}\text{d}x}\Rightarrow \int{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\text{d}\left( f\left( x \right) \right)}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+C\Rightarrow \dfrac{1}{3}{{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+C$.
Với $x=1\Rightarrow \dfrac{1}{3}{{\left( f\left( 1 \right) \right)}^{3}}=\dfrac{1}{3}+C\Rightarrow C=\dfrac{7}{3}$.
Do đó $\dfrac{1}{3}{{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{7}{3}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}$. Vậy $f\left( 3 \right)=\sqrt[3]{34}$.
Với $x=1\Rightarrow \dfrac{1}{3}{{\left( f\left( 1 \right) \right)}^{3}}=\dfrac{1}{3}+C\Rightarrow C=\dfrac{7}{3}$.
Do đó $\dfrac{1}{3}{{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{7}{3}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}$. Vậy $f\left( 3 \right)=\sqrt[3]{34}$.
Đáp án A.