Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục hên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-2$ ?
I. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -4;-2 \right)$.
II. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$.
III. Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm –2.
IV. Hàm số $g\left( x \right)$ có giá trị cực đại bằng –3.
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-2$ ?
I. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -4;-2 \right)$.
II. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$.
III. Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm –2.
IV. Hàm số $g\left( x \right)$ có giá trị cực đại bằng –3.
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=f\left( x \right)$ có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $, $ {f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. $, $ {f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow 0<x<2 $ và $ f\left( 0 \right)=-1 $, $ f\left( 2 \right)=-2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-2$ ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 2-x \right)$.
Giải phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-x=0 \\
& 2-x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -{f}'\left( 2-x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)<0\Leftrightarrow 0<2-x<2\Leftrightarrow 0<x<2$.
${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow -{f}'\left( 2-x \right)<0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-x<0 \\
& 2-x>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>2 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.$.
$g\left( 0 \right)=f\left( 2-0 \right)-2=f\left( 2 \right)-2=-4$.
$g\left( 2 \right)=f\left( 2-2 \right)-2=f\left( 0 \right)-2=-3$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ nên I sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ nên II sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ không đạt cực tiểu tại điểm –2 nên III sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=2$ và cực đại bằng –3 nên IV đúng.
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $, $ {f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. $, $ {f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow 0<x<2 $ và $ f\left( 0 \right)=-1 $, $ f\left( 2 \right)=-2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-2$ ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 2-x \right)$.
Giải phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-x=0 \\
& 2-x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -{f}'\left( 2-x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)<0\Leftrightarrow 0<2-x<2\Leftrightarrow 0<x<2$.
${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow -{f}'\left( 2-x \right)<0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-x<0 \\
& 2-x>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>2 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.$.
$g\left( 0 \right)=f\left( 2-0 \right)-2=f\left( 2 \right)-2=-4$.
$g\left( 2 \right)=f\left( 2-2 \right)-2=f\left( 0 \right)-2=-3$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ nên I sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ nên II sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ không đạt cực tiểu tại điểm –2 nên III sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=2$ và cực đại bằng –3 nên IV đúng.
Đáp án C.