Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục hên $\mathbb{R}$ và có...

Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}$, $f^{\prime }\left(x\right)>0\iff [\begin{array}{rl}& x<1\\ & x>2\end{array}$, $f^{\prime }\left(x\right)<0\iff 0<x<2$ và $f\left(0\right)=-1$, $f\left(2\right)=-2$.
Xét hàm số $g\left(x\right)=f(2-x)-2$ ta có $g^{\prime }\left(x\right)=-f^{\prime }(2-x)$.
Giải phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& 2-x=0\\ & 2-x=2\end{array}$.
Ta có $g^{\prime }\left(x\right)>0\iff -f^{\prime }(2-x)>0\iff f^{\prime }(2-x)<0\iff 0<2-x<2\iff 0<x<2$.
$g^{\prime }\left(x\right)<0\iff -f^{\prime }(2-x)<0\iff f^{\prime }(2-x)>0\iff [\begin{array}{rl}& 2-x<0\\ & 2-x>2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x>2\\ & x<0\end{array}$.
$g\left(0\right)=f(2-0)-2=f\left(2\right)-2=-4$.
$g\left(2\right)=f(2-2)-2=f\left(0\right)-2=-3$.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$ nên I sai.
Hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ nên II sai.
Hàm số $g\left(x\right)$ không đạt cực tiểu tại điểm –2 nên III sai.
Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=2$ và cực đại bằng –3 nên IV đúng.