Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ và có đồ thị như hình vẽ. Kí hiệu $g\left( x \right)=f\left( 2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x} \right)+m.$ Tìm điều kiện của tham số m để $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)>2\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Min}} g\left( x \right).$
A. $m<3.$
B. $m>4.$
C. $0<m<5.$
D. $m<2.$
A. $m<3.$
B. $m>4.$
C. $0<m<5.$
D. $m<2.$
Đặt $t=2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}$ với $x\in \left[ 0;1 \right]$ ta có ${t}'=2\sqrt{2}.\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sqrt{1-x}=\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow 8\left( 1-x \right)=x\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{9}$
Mặt khác $t\left( 0 \right)=1,t\left( \dfrac{8}{9} \right)=3,t\left( 1 \right)=2\sqrt{2}$ suy ra $t\in \left[ 1;3 \right]$
Với $t\in \left[ 1;3 \right]$ thì $g\left( x \right)=f\left( t \right)\in \left[ 1;5 \right]$ do đó $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=5+m,\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Min}} g\left( x \right)=1+m$
Giả thiết $\Leftrightarrow 5+m>2\left( m+1 \right)\Leftrightarrow m<3.$
$\Leftrightarrow 8\left( 1-x \right)=x\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{9}$
Mặt khác $t\left( 0 \right)=1,t\left( \dfrac{8}{9} \right)=3,t\left( 1 \right)=2\sqrt{2}$ suy ra $t\in \left[ 1;3 \right]$
Với $t\in \left[ 1;3 \right]$ thì $g\left( x \right)=f\left( t \right)\in \left[ 1;5 \right]$ do đó $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=5+m,\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Min}} g\left( x \right)=1+m$
Giả thiết $\Leftrightarrow 5+m>2\left( m+1 \right)\Leftrightarrow m<3.$
Đáp án A.