Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ -5;3 \right]$ và có bảng biến thiên sau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $3f\left( -x-2 \right)={{x}^{3}}-3\text{x}+2+m$ có đúng 3 nghiệm thuộc $\left[ -5;3 \right]$ ?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $3f\left( -x-2 \right)={{x}^{3}}-3\text{x}+2+m$ có đúng 3 nghiệm thuộc $\left[ -5;3 \right]$ ?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
Đặt $-x-2=t\Rightarrow 3f\left( t \right)=-{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-9t+m$.
Gọi $g\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{3}}}{3}-2{{t}^{2}}-3t\Rightarrow f\left( t \right)-g\left( t \right)=\dfrac{m}{3}$. Có ${g}'\left( t \right)=-{{t}^{2}}-4t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào bảng xét dấu của $y={f}'\left( t \right)$ và $y={g}'\left( t \right)$ suy ra: ${f}'\left( t \right)-{g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ta có bảng biến thiên của $f\left( t \right)-g\left( t \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow -1<\dfrac{m}{2}<2\Rightarrow -3<m<6$.
Vậy có 8 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Gọi $g\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{3}}}{3}-2{{t}^{2}}-3t\Rightarrow f\left( t \right)-g\left( t \right)=\dfrac{m}{3}$. Có ${g}'\left( t \right)=-{{t}^{2}}-4t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào bảng xét dấu của $y={f}'\left( t \right)$ và $y={g}'\left( t \right)$ suy ra: ${f}'\left( t \right)-{g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ta có bảng biến thiên của $f\left( t \right)-g\left( t \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow -1<\dfrac{m}{2}<2\Rightarrow -3<m<6$.
Vậy có 8 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Đáp án D.