Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}-5x+4 \right|+mx$...

Cách giải:
Ta có: $y=f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}-5x+4 \right|+mx=\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+\left( m-5 \right)+4 khi x\ge 4 hoac x\le 1 \\
& -{{x}^{2}}+\left( m+5 \right)x-4 khi1<x<4 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y={{x}^{2}}+\left( m-5 \right)x+4$ với $x\ge 4$ hoặc $x\le 1.~$
Đồ thị hàm số có hình dạng là parabol có bề lõm hướng lên, hoành độ đỉnh là $x=\dfrac{m+5}{2}$
TH1 $:\dfrac{5-m}{2}\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 4;+\infty \right)$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{5-m}{2}\le 1 \\
& \dfrac{5-m}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 5-m\le 2 \\
& 5-m\ge 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \ge 3 \\
& m\le -3 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\min y=y\left( \dfrac{5-m}{2} \right)=-\dfrac{{{\left( 5-m \right)}^{2}}}{4}+4$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow -\dfrac{{{\left( 5-m \right)}^{2}}}{4}+4\ge 1\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 5-m \right)}^{2}}}{4}\le 3 \\
& \Leftrightarrow {{\left( 5-m \right)}^{2}}\le 12\Leftrightarrow -2\sqrt{3}\le 5-m\le 2\sqrt{3} \\
& \Leftrightarrow 5-2\sqrt{2}\le m\le 5+2\sqrt{3} \\
\end{aligned}$
Mà $m\in \Rightarrow m\in ~\left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}~$
Kết hợp điều kiện $\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;5;6;7;8 \right\}.~$
TH2: $\dfrac{5-m}{2}\notin \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 4;+\infty \right)\Leftrightarrow -3<m<3.~$
Khi đó $miny=min\left\{ y\left( 1 \right);y\left( 4 \right) \right\}=min\left\{ m;4m \right\}.~$
Với $m<4m\Leftrightarrow m>0$, suy ra min $y=m>1.~$
Kết hợp điều kiện $\Rightarrow m\in \left( 1;3 \right)$. Mà $m\in ~\mathbb{Z}$ nên m = 2 .
Với $m>4m\Rightarrow m<0$, suy ra $miny=4m>1\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{4}$ (Mâu thuẫn với m < 0 ).
Vậy $m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}.~$
Xét hàm số $y=-{{x}^{2}}+\left( m+5 \right)x-4$ với $x\in \left( 1;4 \right)$.
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\left( 1;4 \right)$.
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.