Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${{f}^{3}}\left( 1-x \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=x+1\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung có dạng $y=ax+b$. Giá trị của biểu thức $T=5\text{a}+2b$ bằng
A. 6
B. 5
C. 1
D. 3
A. 6
B. 5
C. 1
D. 3
Ta có: $\left( C \right)\cap Oy$ tại điểm có hoành độ $x=0$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=a \\
& {f}'\left( 0 \right)=b \\
\end{aligned} \right. $, thay $ x=1 $ vào giả thiết ta có: $ {{f}^{3}}\left( 0 \right)+f\left( 0 \right)=2\Leftrightarrow {{a}^{3}}+a=2\Leftrightarrow a=1$
Đạo hàm 2 vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( 1-x \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=x+1$ ta được:
$-3{{f}^{2}}\left( 1-x \right){f}'\left( 1-x \right)-2\text{x}.{f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=1$ (*)
Thay $x=1$ vào biểu thức (*) ta có: $-3{{\text{a}}^{2}}b-2b=1\xrightarrow{a=1}-3b-2b=1\Leftrightarrow b=-\dfrac{1}{5}$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=-\dfrac{1}{5}x+1\Rightarrow T=5.\dfrac{-1}{5}+2=1$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=a \\
& {f}'\left( 0 \right)=b \\
\end{aligned} \right. $, thay $ x=1 $ vào giả thiết ta có: $ {{f}^{3}}\left( 0 \right)+f\left( 0 \right)=2\Leftrightarrow {{a}^{3}}+a=2\Leftrightarrow a=1$
Đạo hàm 2 vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( 1-x \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=x+1$ ta được:
$-3{{f}^{2}}\left( 1-x \right){f}'\left( 1-x \right)-2\text{x}.{f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=1$ (*)
Thay $x=1$ vào biểu thức (*) ta có: $-3{{\text{a}}^{2}}b-2b=1\xrightarrow{a=1}-3b-2b=1\Leftrightarrow b=-\dfrac{1}{5}$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=-\dfrac{1}{5}x+1\Rightarrow T=5.\dfrac{-1}{5}+2=1$.
Đáp án C.