Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3\quad khi\ x\ge 1 \\
& 5-x\quad \ khi\ x<1 \\
\end{aligned} \right. $. Tính $ I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}}dx$
A. $I=\dfrac{71}{6}$.
B. $I=31$.
C. $I=32$.
D. $I=\dfrac{32}{3}$.
& {{x}^{2}}+3\quad khi\ x\ge 1 \\
& 5-x\quad \ khi\ x<1 \\
\end{aligned} \right. $. Tính $ I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}}dx$
A. $I=\dfrac{71}{6}$.
B. $I=31$.
C. $I=32$.
D. $I=\dfrac{32}{3}$.
+ Xét tích phân: ${{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}$.
Đặt: $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx$.
Đổi cận: với $x=0$ thì $t=0$, với $x=\dfrac{\pi }{2}$ thì $t=1$.
${{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}2\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-x \right)dx=\left. \left( 10x-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}}=9$.
+ Xét tích phân: ${{I}_{2}}=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx$.
Đặt: $t=3-2x\Rightarrow dt=-2dx\Rightarrow dx=-\dfrac{1}{2}dt$
Đổi cận: với $x=0$ thì $t=3$, với $x=1$ thì $t=1$.
$\begin{aligned}
& {{I}_{2}}=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx=-\dfrac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)}dt=-\dfrac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( x \right)}dx \\
& =-\dfrac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}dx=\left. \left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{2}x \right) \right|_{3}^{1}=22. \\
\end{aligned}$
Vậy: $I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}}dx=9+22=31$.
Đặt: $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx$.
Đổi cận: với $x=0$ thì $t=0$, với $x=\dfrac{\pi }{2}$ thì $t=1$.
${{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}2\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-x \right)dx=\left. \left( 10x-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}}=9$.
+ Xét tích phân: ${{I}_{2}}=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx$.
Đặt: $t=3-2x\Rightarrow dt=-2dx\Rightarrow dx=-\dfrac{1}{2}dt$
Đổi cận: với $x=0$ thì $t=3$, với $x=1$ thì $t=1$.
$\begin{aligned}
& {{I}_{2}}=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx=-\dfrac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)}dt=-\dfrac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( x \right)}dx \\
& =-\dfrac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}dx=\left. \left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{2}x \right) \right|_{3}^{1}=22. \\
\end{aligned}$
Vậy: $I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}}dx=9+22=31$.
Đáp án B.