Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ 0;4 \right]$. Biết $F\left( 4 \right)=3$ và $\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{F\left( x \right)}{2x+1}dx}=4$. Tính $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\ln \left( 2x+1 \right)dx}$.
A. $I=6\ln 3-8.$
B. $I=3\ln 3-4.$
C. $I=3\ln 3+4.$
D. $I=6\ln 3-6.$
A. $I=6\ln 3-8.$
B. $I=3\ln 3-4.$
C. $I=3\ln 3+4.$
D. $I=6\ln 3-6.$
Đặt.$\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln \left( 2x+1 \right) \\
& dv=f\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{2}{2x+1}dx \\
& v=F\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$. Do đó:
$I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\ln \left( 2x+1 \right)dx}=\left. F\left( x \right).\ln \left( 2x+1 \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{2F\left( x \right)}{2x+1}dx}=F\left( 4 \right).\ln 9-2.4=6\ln 3-8$
& u=\ln \left( 2x+1 \right) \\
& dv=f\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{2}{2x+1}dx \\
& v=F\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$. Do đó:
$I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\ln \left( 2x+1 \right)dx}=\left. F\left( x \right).\ln \left( 2x+1 \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{2F\left( x \right)}{2x+1}dx}=F\left( 4 \right).\ln 9-2.4=6\ln 3-8$
Đáp án A.