. Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm số liên tục trên và...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hàm số

y = f (x)

là hàm số liên tục trên và

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1, \int_{1}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x = 6

.
Tính giá trị của tích phân

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{f (2 \tan x)}{\cos^{2} x} d x .

A.

I = 8.

B.

I = 6.

C.

I = 4.

D.

I = 2.

Ta có

\int_{1}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x = 2 \int_{1}^{2} f (x) d x = 6 \Rightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 3 \Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x = 4

Đặt

t = 2 \tan x \Leftrightarrow d t = \frac{2}{\cos^{2} x} d x \Leftrightarrow \frac{d t}{2} = \frac{d x}{\cos^{2} x}

và đổi cận

{\begin{aligned} x = 0 \to t = 0 \\ x = \frac{π}{4} \to t = 2 \end{aligned}

.
Khi đó

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{f (2 \tan x)}{\cos^{2} x} d x = \int_{0}^{2} \frac{f (t)}{2} d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{1}{2} .4 = 2

.

Đáp án D.

. Cho hàm số y=f(x) là hàm số liên tục trên và...