Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn và có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}}{{{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận
A. $3$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $6$.
x\to -\infty \\
(x\to +\infty )
\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=0 $ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $ g\left( x \right) $ là đường thẳng $ y=0.$
+ ${{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{2} \\
& x=\sqrt{2} \\
& x=0 \\
& x=a,\left( a<-\sqrt{2} \right) \\
& x=b,\left( b>\sqrt{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$ do đó
$g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}}{{{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-3}=\dfrac{{{x}^{2}}\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)}{{{x}^{2}}{{\left( x+\sqrt{2} \right)}^{2}}{{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}$ nên
i) $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}={{y}_{0}}\in R$ nên đường thẳng $x=0$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
ii) $\underset{x\to {{(-\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{(-\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=+\infty $ nên đường thẳng $x=-\sqrt{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
iii) $\underset{x\to {{(\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{(\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=-\infty $ nên đường thẳng $x=\sqrt{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
iv) $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=-\infty $ nên đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
v) $\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=+\infty $ nên đường thẳng $x=b$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 5 đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}}{{{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận
A. $3$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $6$.
+ Mẫu của $g\left( x \right)$ là một đa thức bậc $8$ nên $\underset{\begin{smallmatrix} x\to -\infty \\
(x\to +\infty )
\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=0 $ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $ g\left( x \right) $ là đường thẳng $ y=0.$
+ ${{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{2} \\
& x=\sqrt{2} \\
& x=0 \\
& x=a,\left( a<-\sqrt{2} \right) \\
& x=b,\left( b>\sqrt{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$ do đó
$g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}}{{{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-3}=\dfrac{{{x}^{2}}\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)}{{{x}^{2}}{{\left( x+\sqrt{2} \right)}^{2}}{{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}$ nên
i) $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}={{y}_{0}}\in R$ nên đường thẳng $x=0$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
ii) $\underset{x\to {{(-\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{(-\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=+\infty $ nên đường thẳng $x=-\sqrt{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
iii) $\underset{x\to {{(\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{(\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=-\infty $ nên đường thẳng $x=\sqrt{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
iv) $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=-\infty $ nên đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
v) $\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+\sqrt{2} \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=+\infty $ nên đường thẳng $x=b$ là tiệm cận đứng của đồ thị $g\left( x \right)$.
Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 5 đường tiệm cận.
Đáp án C.